0. ВВЕДЕНИЕ

В методических указаниях к лабораторной работе N 3 "Оп-ределение модуля упругости и коэффициента Пуассона" указывает-ся цель работы, приводится характеристика испытуемого образца и даётся методика проведения испытаний.

Для лучшего усвоения материала по темам: "Растяжение и сжатие" и "Упруго – механические свойства материалов" приво-дятся основные теоретические положения, позволяющие квали-фицированно провести испытания, экспериментально определить по одному испытанию образца величины упругих постоянных (Е и μ) и проанализировать полученные результаты.

Завершаются методические указания перечнем возможных вопросов при защите отчета по этой лабораторной работе.

2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Определить опытным путем величину модуля упругости Ε и коэффициент Пуассона μ и сравнить полученные результаты со справочными данными.

3. ОБОРУДОВАНИЕ, ПРИБОРЫ И ИНСТРУМЕНТЫ

Испытательная машина – МР-0,5. Тензометрическая станция – ЦТМ-5. Штангенциркуль.

4. ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗЦОВ

Вид образца, имеющего прямоугольное поперечное сечение, представлен на рис.1. На больших сторонах поперечного сечения образца наклеены по одному тензодатчику в продольном направлении и по одному в поперечном. Каждый тензодатчик под-ключен к отдельному каналу тензометрической станции ЦТМ-5.

Рис. 1. Вид обра о тензо датчиками

5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При деформациях подавляющего большинства материалов в упругой стадии справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональную зависимость между напряжениями и деформациями:

Величина Ε представляет собой коэффициент пропорцио-нальности и называется модулем упругости первого рода. Так как относительное удлинение – величина безразмерная, модуль упруго-сти Ε имеет размерность напряжения. Закон Гука справедлив при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности апц.

На диаграмме растяжения (сжатия) (рис.2) модуль упруго-сти Ε представлен тангенсом угла наклона прямой О А к оси (tg α).

Рис.2. Диаграмма растяжения (сжатия) образца из малоуглеродистой стали:

1. растяжения,
2. сжатия

При растяжении стержня, его удлинение в продольном на-правлении сопровождается пропорциональным сужением в попе-речном направлении, что показано на рис.3.

Рис.3. Изменение формы образца при испытаниях на растяжение

Продольную деформацию принято обозначать: абсолютную – Δi (Δ^ = i\- l),

относительную -ε (ε = Δ -£ / ^). Поперечную деформацию обозначим:

абсолютную – ДЬ (Ab = bi – b),

относительную – ε1 (ε1 = Ab / b). Как показывает опыт ε’= – μ · ε,

где μ – безразмерный коэффициент пропорциональности, называе-мый коэффициентом Пуассона, величина которого зависит только от материала и характеризует его свойства. Знак " – " указывает, что продольная и поперечная деформации всегда противоположны по знаку. Коэффициент Пуассона принято считать положительной величиной, поэтому относительные линейные деформации берутся по абсолютной величине (μ= ε11 /1 ε |).

6. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ

1.- Перед испытанием студентам необходимо ознакомиться с устройством машины МР-0,5 (первое занятие) и правилами поведения в лаборатории при проведении испытаний (вводный инструктаж).

2. Измеряют штангенциркулем характерные линейные размеры испытуемого образца.

3. Убеждаются в подключении тензодатчиков к тензометрической станции ЦТМ-5.

4.- Наблюдают за включением машины, процессом нагружения образца начальной нагрузкой (0 – 100 Η-), которая задается преподавателем.

5.- Путем последовательного переключения соответствующих каналов тензометрической станции снимают показания каждого из тензометров. Эти данные заносятся в журнал наблюдений. В отчете по лабораторной работе в разделе "Результаты испытаний" предварительно готовится таблица..

6. Наблюдают за последующими двумя ступенями нагружения (100 – 200 Η каждая по указанию преподавателя) образца, снимают показания тензодатчиков и заносят их в таблицу.

7. В процессе проведения испытаний внимательно следят за ком-ментариями преподавателя и при завершении испытаний по его указанию приступают к обработке результатов испытания.

7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЯ

В журнале наблюдений (табл.) подсчитываются прираще-ния соответствующих отсчетов и определяются их средние значе-ния (АсрР, АсрАь АсрА2, ДсрВь АсрВ2). Затем подсчитываются средние приращения по тензометрам в продольном (АсрА) и попе-речном (АсрВ) направлениях.

По найденным АсрА и АсрВ находятся значения относи-тельной линейной деформации соответственно в продольном и поперечном направлениях:

ε = АсрА · с, ε1 = АсрВ · с,

где с – коэффициент чувствительности тензодатчика, который оп-ределяется тарировкой и сообщается преподавателем.

Определяются значение нормального напряжеия, средин для каждой ступени нагружения образца:

σ = АсрР / F, где F – площадь поперечного сечения образца (F = b · d).

Исходя из закона Гука при растяжении – сжатии (σ= Ε-ε) находится модуль упругости материала образца:

По найденным значениям относительных деформаций в продольном и поперечном направлениях определяется величина коэффициента Пуассона:

Для любого материала величина коэффициента Пуассона должна находиться в пределах от 0 до 0,5.

Найденные значения модуля упругости Ε и коэффициента Пуассона μ следует сравнить с соответствующими величинами, приведенными в справочной литературе и сделать выводы.

Все твердые тела, как кристаллические, так и аморфные, имеют свойство изменять свою форму под воздействие приложенной к ним силы. Другими словами, они подвергаются деформации. Если тело возвращается к исходным размерам и форме после того, как внешнее усилие прекращает свое воздействие, то его называют упругим, а его деформацию считают упругой. Для любого тела существует предел приложенного усилия, после которого деформация перестает быть упругой, тело не возвращается в исходную форму и к исходным размерам, а остается в деформированном состоянии или разрушается. Теория упругих деформаций тел была создана в конце 17 века британским ученым Р. Гуком и развита в трудах его соотечественника Томаса Юнга. В их честь Гука и Юнга были названы соответственно закон и коэффициент, определяющий степень упругости тел. Он активно применяется в инженерном деле в ходе расчетов прочности конструкций и изделий.

Основные сведения

Модуль Юнга, (называемый также модулем продольной упругости и модулем упругости первого рода) это важная механическая характеристика вещества. Он является мерой сопротивляемости продольным деформациям и определяет степень жесткости. Он обозначается как E; измеряется н/м 2 или в Па.

Это важный коэффициент применяют при расчетах жесткости заготовок, узлов и конструкций, в определении их устойчивости к продольным деформациям. Вещества, применяемые для изготовления промышленных и строительных конструкций, имеют, как правило, весьма большие значения E. И поэтому на практике значения Е для них приводят в гигаПаскалях (10 12 Па)

Величину E для стержней поддается расчету, у более сложных конструкций она измеряется в ходе опытов.

Приближенные величины E возможно узнать из графика, построенного в ходе тестов на растяжение.

E- это частное от деления нормальных напряжений σ на относительное удлинение ε.

Закон Гука также можно сформулировать и с использованием модуля Юнга.

Физический смысл модуля Юнга

Во время принудительного изменения формы предметов внутри них порождаются силы, сопротивляющиеся такому изменению, и стремящиеся к восстановлению исходной формы и размеров упругих тел.

Если же тело не оказывает сопротивления изменению формы и по окончании воздействия остается в деформированном виде, то такое тело называют абсолютно неупругим, или пластичным. Характерным примером пластичного тела является брусок пластилина.

Р. Гук исследовал удлинение стрежней из различных веществ, под воздействием подвешенных к свободному концу гирь. Количественным выражением степени изменения формы считают относительное удлинение, равное отношению абсолютного удлинения и исходной длины.

В результате серии опытов было установлено, что абсолютное удлинение пропорционально с коэффициентом упругости исходной длине стрежня и деформирующей силе F и обратно пропорционально площади сечения этого стержня S:

Δl = α * (lF) / S

Величину, обратную α, и называют модулем Юнга:

Относительная деформация:

ε = (Δl) / l = α * (F/S)

Отношение растягивающей силы F к S называют упругим напряжением σ:

Закон Гука, записанный с использованием модуля Юнга, выглядит так:

σ = ε/α = E ε

Теперь можно сформулировать физический смысл модуля Юнга: он соответствует напряжению, вызываемому растягиванием стержнеобразного образца вдвое, при условии сохранения целостности.

В реальности подавляющее большинство образцов разрушаются до того, как растянутся вдвое от первоначальной длины. Значение E вычисляют с помощью косвенного метода на малых деформациях.

Коэффициент жёсткости при упругой деформации стержня вдоль его оси k = (ES) / l

Модуль Юнга определяет величину потенциальной энергии тел или сред, подвергшихся упругой деформации.

Значения модуля юнга для некоторых материалов

В таблице показаны значения E ряда распространенных веществ.

Модуль продольной упругости стали вдвое больше модуля Юнга меди или чугуна. Модуль Юнга широко применяется в формулах прочностных расчетов элементов конструкций и изделий в целом.

Предел прочности материала

Это предел возникающего напряжения, после которого образец начинает разрушаться.

Статический предел прочности измеряется при продолжительном приложении деформирующего усилия, динамический — при кратковременном, ударном характере такого усилия. Для большинства веществ динамический предел больше, чем статический.

Кроме того, существуют пределы прочности на сжатие материала и на растяжение. Они определяются на испытательных стенда опытным путем, при растягивании или сжатии образцов мощными гидравлическим машинами, снабженными точными динамометрами и измерителями давления. В случае невозможности достижения требуемого давления гидравлическим способом иногда применяют направленный взрыв в герметичной капсуле.

Допускаемое механическое напряжение в некоторых материалах при растяжении

Из жизненного опыта известно, что разные материалы по-разному сопротивляются изменению формы. Прочностные характеристики кристаллических и других твердых тел определяются силами межатомного взаимодействия. По мере роста межатомных расстояний возрастают и силы, притягивающие атомы друг к другу. Эти силы достигают максимума при определенной величине напряжения, равной приблизительно одной десятой от модуля Юнга.

Эту величину называют теоретической прочностью, при ее превышении начинается разрушение материала. В реальности разрушение начинается при меньших значениях, поскольку строение реальных образцов неоднородно. Это вызывает неравномерное распределение напряжений, и разрушение начинается с тех участков, где напряжения максимальны.

Значения σ раст в МПа:

Эти цифры учитываются конструкторами при выборе материала деталей будущего изделия. С их использованием также проводятся прочностные расчеты. Так, например, тросы, используемые для подъемно- транспортных работ, должны иметь десятикратный запас по прочности. Периодически их проверяют, подвешивая груз в десять раз больше, чем паспортная грузоподъемность троса.

Запасы прочности, закладываемые в ответственные конструкции, также многократны.

Коэффициент запаса прочности

Для количественного выражения запаса прочности при конструировании применяют коэффициент запаса прочности. Он характеризует способность изделия к перегрузкам выше номинальных. Для бытовых изделий он невелик, но для ответственных узлов и деталей, могущих при разрушении представлять опасность для жизни и здоровья человека, его делают многократным.

Точный расчет прочностных характеристик позволяет создать достаточный для безопасности запас прочности и одновременно не перетяжелить конструкцию, ухудшая ее эксплуатационные характеристики. Для таких расчетов используются сложные математические методы и совершенное программное обеспечение. Наиболее важные конструкции обсчитывают на суперкомпьютерах.

Связь с другими модулями упругости

Модуль Юнга связан с модулем сдвига, определяющим способность образца к сопротивлению против деформации сдвига, следующим соотношением:

E связан также и с модулем объёмной упругости, определяющим способность образца к сопротивлению против одновременного сжатия со всех сторон.

На правах рукописи

Министерство образования Российской Федерации

Волгоградская государственная архитектурно-строительная академия

Кафедра физики

ИЗМЕРЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА

методом изГИБа СТЕРЖНЯ

Методические указания к лабораторной работе № 5

Волгоград 2010

УДК 539.4(076.5)

Измерение модуля юнга методом изгиба стержня: Метод. указания к лабораторной работе / Сост. , ; ВолгГАСА. Волгоград, 2003, 16 с.

Целью работы является изучение упругих деформаций, проверка закона Гука и определение модуля Юнга металлического стержня методом изгиба. Даны определения основных понятий теории упругости, объяснены микроскопические механизмы упругих и пластических деформаций, приводятся табличные данные об упругих и прочностных свойствах твердых тел. Изложена методика измерений, описан порядок выполнения работы и анализа экспериментальных данных. Сформулированы задания к УИРС. Даны правила техники безопасности и приведены контрольные вопросы.

Для студентов всех специальностей по дисциплине «Физика».

Ил. 6. Табл. 3. Библиогр. 8 назв.

© Волгоградская государственная

архитектурно-строительная академия, 2003

© Составление,

Ц ель работы . Изучение упругих деформаций, проверка закона Гука и

определение модуля Юнга металла методом изгиба стержня.

Приборы и принадлежности : установка для измерения прогиба металлических образцов в виде стержней, образцы для исследования, набор грузов, штангенциркуль, микрометр.

1. Теоретическое введение

1.1. Деформации, виды деформаций

В отличие от газов, которые не обладают ни собственной формой, ни собственным объемом, в отличие от жидкостей, которые не имеют собственной формы, но имеют собственный объем, твердые тела обладают и собственным объемом и собственной формой. Под действием внешних механических сил и по другим причинам (например, при нагревании, под воздействием электрических или магнитных полей) твердые тела меняют как свой объем, так и свою форму, т. е. деформируются .

При деформации твердого тела его частицы смещаются из первоначальных положений равновесия в новые. Этому смещению препятствуют силы взаимодействия между частицами: в деформированном теле возникают упругие силы, уравновешивающие внешние силы, вызвавшие деформацию.

По характеру возникающих сил выделяют упругие и пластические деформации. Если действующие на твердое тело силы достаточно малы, так что после устранения этих сил и объем тела, и его форма восстанавливаются (т. е. деформация исчезает), то деформации называют упругими . При этом частицы твердого тела возвращаются в исходные положения равновесия. При достаточно больших внешних силах или их длительном действии возникает необратимая перестройка кристаллической решетки, и деформации после устранения внешних сил полностью не исчезают. Такие деформации называют пластическими .

По характеру геометрических искажений выделяют два основных вида деформаций: деформация растяжения (сжатия ) и деформация сдвига (рис. 1). Всякую иную деформацию, например, изгиб, кручение, можно представить как совокупность этих двух основных видов деформации.

По характеру распределения деформаций в объеме тела выделяют однородные и неоднородные деформации. Деформацию называют однородной , если все элементарные кубики, из которых можно мысленно составить тело, деформируются одинаковым образом. Простейшими элементарными деформациями являются относительное удлинение и сдвиг. Изменение длины тела в результате его растяжения (или сжатия) от первоначального значения l 0 до l , равное , называется абсолютной деформацией растяжения (Dl > 0) или сжатия (Dl < 0). Относительным удлинением называется величина e = Dl /l 0.

При деформации однородного сдвига изменяется только форма, а объем тела остается неизменным (рис.1, б). Каждый горизонтальный слой сдвинут относительно соседних с ним слоев. При сдвиге любая прямая, которая до деформации была перпендикулярна к сдвигаемым слоям, повернется на некоторый угол . Величина называется относительным сдвигом . Угол мал, поэтому полагают .

Мерой внутренних сил, возникающих при деформации материала, является напряжение, равное силе упругости, действующей на единицу площади сечения тела , то есть величина , где – результирующая сил, действующих на элемент поверхности https://pandia.ru/text/78/101/images/image009_97.gif" width="87" height="25">, (1)

где – сила, приложенная по нормали к сечению тела стержня (рис.1, а ).

Тангенциальное напряжение , возникающее при однородном сдвиге, можно вычислить аналогично:

– касательная сила, параллельная плоскости сдвига (рис.1, б ).

Напряжение называется истинным, если учтено изменение площади S при деформации, и условным, если S – площадь недеформированного тела.

1.2. Закон Гука

При малых упругих деформациях выполняется закон Гука : напряжения, возникающие в упруго деформированном теле, прямо пропорциональны величине относительной деформации. Для упругих деформаций растяжения (сжатия) и сдвига закон Гука выражается уравнениями:

где E и G – характеристики упругих свойств вещества. Коэффициент пропорциональности E между нормальным напряжением sn и относительной деформацией растяжения (сжатия) e называется модулем упругости или модулем Юнга. Коэффициент пропорциональности G между тангенциальным напряжением st и относительным сдвигом https://pandia.ru/text/78/101/images/image015_66.gif" width="64" height="19">, (4)

где K – коэффициент всестороннего сжатия (модуль объемной деформации).

Формулы (3) выражают так называемый элементарный закон Гука, определяющий зависимость между напряжением и деформацией в одном и том же направлении (направлении приложенной силы). Однако деформации могут возникать и в направлениях, не совпадающих с направлением силы. Например, при растяжении образца (рис. 1, а ) происходит не только его удлинение, но и сжатие в поперечном направлении. Поперечная деформация при растяжении или сжатии характеризуется коэффициентом Пуассона n, равным отношению поперечной деформации к продольной в области упругости (см. табл. 1). Обобщенный закон Гука, записанный с учетом возможных деформаций по трем направлениям, имеет вид:

https://pandia.ru/text/78/101/images/image017_60.gif" width="173" height="29">, (5)

,

где индексы x , y и z обозначают направления осей координат, вдоль которых вычисляются соответствующие напряжения и относительные деформации растяжения (сжатия). И аналогично обобщенный закон Гука для сдвига:

Https://pandia.ru/text/78/101/images/image022_40.gif" width="193" height="51">. (7)

1.3. Диаграмма растяжения

Типичная зависимость нормального напряжения от относительной деформации при одностороннем растяжении (диаграмма растяжения) показана на рис. 2. Точка B на диаграмме разделяет области упругих и пластических деформаций, точка C соответствует началу разрушения тела.

https://pandia.ru/text/78/101/images/image024_43.gif" width="13" height="16 src="> и сохраняется, но при полной разгрузке у тела сохраняется остаточная деформация O R . В материалах, где пластические деформации сильно развиты, существует область текучести BB ¢ , где увеличение размеров тела происходит при неизменном напряжении. Этот этап нагружения материала может смениться участком B ¢ C нелинейной зависимости между https://pandia.ru/text/78/101/images/image025_39.gif" width="16" height="16">. Тогда точка B ¢ отождествляется с пределом текучести. Обычно четкой границы между участками BB ¢ и B ¢ C нет, и предел текучести определяют условно. Условный предел текучести (s0,2) – это напряжение, после нагружения до которого и последующей разгрузки остаточная деформация составляет 0,2 % первоначальной длины, то есть = 0,002 (для сравнения: условный предел упругости – напряжение, после приложения которого остаточная деформация составляет менее 0,05 % первоначальной длины). Область текучести BB ¢ наблюдается не для всех материалов, а только для пластичных, с вязким характером разрушения. В хрупких материалах предел упругости совпадает с пределом прочности, разрушение таких материалов, происходящее без видимой пластической деформации, называется хрупким.

Предел прочности (временное сопротивление 628 " style="width:471.3pt;border-collapse:collapse">

Материал

E , ГПа

Модуль сдвига

G , ГПа

Коэффициент

Пуассона

предел прочности

предел прочности

на сжатие

Предел прочности

В изг, МПа

(17–17,5)∙103

Алюминий

Древесина

Оргстекло

Титановые сплавы

Высокопрочные стали

При хрупком разрушении https://pandia.ru/text/78/101/images/image025_39.gif" width="16" height="16"> > В деформация сосредотачивается на одном участке образца, где поперечное сечение уменьшается, образуя так называемую шейку. В шейке перпендикулярно оси растяжения возникает трещина, которая разрастается в этом направлении до полного разрушения образца. В этом случае В характеризует сопротивление материала пластической деформации, а не разрушению..gif" width="16 height=16" height="16">0,2), модуль Юнга E являются базовыми параметрами, включаемыми в ГОСТ на поставку конструкционных материалов, в паспорта приемочных испытаний; они входят в расчеты прочности и ресурса.

1.3. Микроскопические механизмы деформации

Упругие свойства тел зависят от их строения, характера взаимного расположения и движения частиц (атомов, молекул), входящих в их состав. Взаимное расположение и движение частиц определяется силами взаимодействия между ними. Атомы и ионы кристалла испытывают со стороны соседних частиц действие как сил притяжения f пр, так и сил отталкивания f от, значения которых зависят от расстояния между частицами. По своему происхождению это силы электростатической природы, направления векторов сил f пр и f от противоположны, потенциальная энергия притяжения отрицательна, а потенциальная энергия отталкивания положительна. При этом силы отталкивания при увеличении расстояния убывают быстрее, чем силы притяжения. Поэтому зависимости суммарной потенциальной энергии W пот и результирующей силы f рез от расстояния r имеют вид, показанный на рис. 3. Для некоторого расстояния между частицами r 0, называемого равновесным, потенциальная энергия минимальна (рис. 3, а ), а результирующая сила обращается в нуль (рис. 3, б ).

При сжатии тела внешними силами расстояние между частицами становится меньше r 0, и в теле возникают силы отталкивания, препятствующие его сжатию. При растяжении тела расстояния между его частицами превышают r 0, в результате чего возникают силы притяжения, препятствующие растяжению. Таким образом, при отклонении частиц от положения равновесия в любую сторону возникают силы, стремящиеся возвратить их в равновесное состояние.

При установившейся упругой деформации результирующая внутренних упругих сил в любом сечении тела уравновешивает внешние силы, действующие на тело. Поэтому при упругой деформации величину внутренних сил можно определить по величине внешних сил, приложенных к телу. После устранения внешних сил внутренние силы вернут частицы в равновесные положения, и деформации исчезнут. Однако это будет иметь место лишь при малых деформациях, когда окружение смещающихся частиц остается неизменным. При этом силы их взаимодействия пропорциональны величине отклонения частицы из положения равновесия (r – r 0), что соответствует закону Гука на участке cd кривой f (r ) (рис. 3, б ).

При достаточно больших смещениях частицы деформируемого тела из прежних положений равновесия попадают в соседние, занятые до этого другими частицами, которые тоже переходят в новые положения равновесия. При исчезновении внешних сил новые положения равновесия сохраняются, следовательно, имеют место остаточные деформации. Таков механизм возникновения пластических деформаций, который обычно реализуется при сдвигах атомов – скольжении атомных плоскостей или при их переориентации (двойниковании).

Неверно думать, что пластические деформации сдвига образуются путем смещения одной части кристалла относительно другой. Если бы это было так, то прочность кристаллов на сдвиг была бы в 100–1000 раз больше реальной, имеющей место в действительности. Природа сдвигообразования связана с несовершенством кристаллической структуры твердых тел, с образованием и движением дефектов. Дефекты структуры по геометрическим признакам разделяются на точечные (нульмерные), линейные (одномерные), поверхностные (двумерные) и объемные (трехмерные) дефекты.

К точечным дефектам, локализованным в отдельных точках кристалла, относят вакансии (вакантные узлы кристаллической решетки), атомы в междоузлиях и атомы примеси в узлах или междоузлиях .

Линейные дефекты – такие, при которых нарушение правильности структуры кристаллической решетки сосредоточено вблизи некоторых линий. Линии, отделяющие область сдвиговых деформаций от недеформированной области, называются дислокациями. Различают краевые и винтовые дислокации (рис. 4, а, б ). Краевая дислокация OO " (на рис. 4, а она обозначена значком) возникла при сдвиге части кристалла на одно межатомное расстояние и представляет собой край лишней полуплоскости. Краевая дислокация перпендикулярна вектору сдвига, винтовая дислокация OO " параллельна вектору сдвига (рис. 4, б ).

Дислокация, вызывая упругое искажение решетки, создает вокруг себя силовое поле, характеризующееся в каждой точке определенным касательным (st) и нормальным (sn ) напряжениями. При попадании в это поле другой дислокации возникают силы, стремящиеся сблизить или оттолкнуть дислокации друг от друга. От плотности и подвижности дислокаций зависит прочность материала.

Влажность" href="/text/category/vlazhnostmz/" rel="bookmark">влажности и температуры среды, методов виброуплотнения). Технологии упрочнения разрабатываются в зависимости от типа и назначения бетонов (тяжелые, легкие, гидротехнические, дорожные, жаростойкие и т. п.). Железобетонные конструкции упрочняют предварительным напряжением. Напряженные бетоны создают путем разогрева арматуры, приводящего к ее тепловому расширению, и последующего охлаждения по завершении процесса твердения бетона. Возникшие при этом деформации сжатия арматуры создают напряжения сжатия в бетоне. В процессе эксплуатации конструкции в условиях ее растяжения, имеющиеся внутренние напряжения направлены против внешних сил, что существенно увеличивает предел прочности. Аналогичным образом повышают предел прочности на изгиб, создавая внутри конструкции внутренние моменты сил, противоположные внешним моментам сил, возникающим в рабочем режиме.

2. Методика измерений

Целью работы является определение модуля Юнга на основе исследования упругой деформации изгиба. Деформацию изгиба испытывают детали многих сооружений. Балка или плита, лежащая на опорах, прогибается и под действием собственного веса, и под действием приложенной нагрузки F (рис. 5). Схема испытания на изгиб (рис. 5) предусмотрена ГОСТом для определения пределов прочности на изгиб. Эта же схема в настоящей работе используется для определения модуля Юнга.

https://pandia.ru/text/78/101/images/image030_33.gif" width="56" height="21">. (8)

Измеряя https://pandia.ru/text/78/101/images/image031_31.gif" width="15" height="20 src=">/F и рассчитывают модуль Юнга по формуле

где l – длина, b – ширина, h – толщина стержня, k – коэффициент упругости при изгибе, определяемый из (8).

Для обоснования формулы (9) рассмотрим фрагмент стержня, испытывающего деформации изгиба (рис. 6, а ). При равновесии сила F уравновешивается равнодействующей сил упругости F t, направленных по касательной к деформируемым слоям (рис. 6, а , б ). С другой стороны, равнодействующая сил упругости перпендикулярна к сечению стержня и создает нормальные напряжения.

При изгибе на выпуклой стороне тело испытывает деформацию растяжения, а на вогнутой – деформацию сжатия. Внутри изогнутого стержня имеется нейтральный слой, в котором деформации сжатия или растяжения отсутствуют. Поскольку нейтральный слой не изменяет длины, то длина линии O 1O 2, принадлежащей нейтральному слою, равна dx = r d a, где r – радиус кривизны нейтрального слоя, d a – угол между плоскостями сечения стержня.

Линия AB , лежащая ниже нейтрального слоя на расстоянии z , испытывает деформацию растяжения. Длина ее равна . Соответственно абсолютное и относительное удлинения равны:

https://pandia.ru/text/78/101/images/image037_26.gif" width="136" height="48 src=">.

Из закона Гука для растяжения получаем

https://pandia.ru/text/78/101/images/image039_26.gif" width="85" height="25">, а ее момент равен . Суммарный момент силы найдем интегрированием:

https://pandia.ru/text/78/101/images/image042_21.gif" width="99" height="31 src="> (единица измерения м4) является мерой сопротивления сечения тела деформации изгиба, в отличие от физического понятия момента инерции твердого тела https://pandia.ru/text/78/101/images/image044_20.gif" width="172" height="60 src=">,

откуда следуют формулы (8) и (9).

В стандартных испытаниях на прочность приложенную нагрузку повышают до разрушения тела, фиксируя силу F = Fm , при которой стержень ломается. Предел прочности на изгиб рассчитывают по формуле

https://pandia.ru/text/78/101/images/image046_20.gif" width="65" height="25 src=">.gif" width="168" height="55">, (12)

где DEi = E ср – Ei , коэффициент Стьюдента a найдите по таблице Стьюдента при W = 0,95 и n = 5. В соответствии с погрешностью округлите результат и представьте в виде Е = (Е ср ± DЕ ) Па. Сравните полученные результаты с табличными. Сформулируйте выводы по работе, включая комментарий о выполнимости закона Гука и оценки полученных результатов.

Таблица 2

Размеры исследуемого стержня

Материал (сталь, латунь …)
ширина, мм	толщина, мм

Таблица 3

Результаты измерения модуля Юнга

			ni 1, мм	ni 2, мм	ni 3, мм	ni ср, мм	(n 0 ср – ni ср)			E ,	( E )2,
	E эксп = (E ср E )·1011 Па

Техника безопасности

· Стальной стержень не закреплен на опорах. Во избежание падения стержня и грузов аккуратно устанавливайте грузы.

· Не оставляйте установку включенной.

Задания для учебно-исследовательской работы

1. Исследование упругих свойств различных строительных материалов .

2. Исследование отклонений от закона Гука для стержней, изготовленных из пластмассы, органического стекла, других пластичных материалов.

3. Оценка микроскопических параметров межатомных взаимодействий.

4. Оценка теоретической прочности твердых тел с идеальной кристаллической решеткой, сравнение с экспериментальными значениями. Современные теории разрушения.

При выполнении заданий использовать и дополнительную литературу.

Контрольные вопросы

1. Виды деформаций. Закон Гука для упругих деформаций: одноосного и всестороннего растяжения (сжатия). Закон Гука для деформаций сдвига.

2. Физический смысл модуля Юнга, модуля сдвига, коэффициента Пуассона, связь между этими величинам. Обобщенный закон Гука.

3. Микроскопический механизм деформации твердых тел. Покажите на графиках зависимости потенциальной энергии и силы взаимодействия от расстояния между атомами область выполнимости закона Гука.

4. Диаграмма растяжения. Пределы упругости, текучести, прочности.

5. Основной механизм разрушения твердых тел. Роль дефектов. Типы дефектов. Методы повышения прочности материалов.

6. Задача . Найти относительное удлинение вертикально подвешенного стального троса под действием собственного веса 100 кГ. Площадь поперечного сечения S = 5 см2.

7. Задача . К двум противоположным граням стального бруска с поперечным сечением S = 10 см2 приложены силы F 1 = F 2 = 10 кГ. Определить величину относительного сдвига.

8. Задача . По полученным в работе значениям модуля Юнга оценить, какой наибольший груз может выдержать проволока диаметром d = 1 мм, не выходя за предел упругости? Оценить также интервал значений приложенных сил, соответствующий области текучести. Для расчетов используйте значение модуля Юнга, полученное в Вашей работе, и данные табл. 1.

9. Задача . Для предварительного напряжения конструкций используют два метода: механическое растяжение и тепловое расширение арматуры, в которой необходимо создать напряжение s0, составляющее 90% от предела текучести. Определить требуемое удлинение стального стержня для необходимого напряжения s0. Рассчитать, какую для этого надо приложить силу к стальному стержню арматуры или на сколько градусов его нагреть? При тепловом расширении относительное удлинение прямо пропорционально приращению температуры e = a DT , где a = 1,2·10–5 град–1. Длина стержня l 0 = 2,5 м, диаметр 10 мм, модуль Юнга стали E = 210 ГПа, предел текучести sт = 260 Мпа.

Библиографический список

1. Курс физики. М.: Высш. шк., 1999.

2. Краткий курс физики: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000.

3. Курс физики / , . М.: Высш. шк., 1999.

4. Яворский Б. М . Справочник по физике для студентов втузов и инженеров. – 2-е изд. испр. и доп. / , . М.: Высш. шк., 1999.

5. Физика твердого тела / , М.: Высш. шк., 2000. Гл. 2–4.

6. Физика твердого тела. М.: Высш. шк., 1975. С. 56–88.

7. Строительные материалы и изделия. М.: Высш. шк., 1983. §1.3, § 6, 7.

8. Теплофизические свойства материалов: Учебно-исследовательские работы по курсу физики / Сост. , ; ВолгИСИ. Волгоград. 1983. С. 6–8.

9. Горчаков материалы: Учеб. Для вузов./ , . М.: Стройиздат, 1986.– 688 с.

10. Физические величины: Справочник/ , и др.; Под ред. , . М.: Энергоиздат, 1991.1232 с.

Модуль Юнга называют также константой упругой жесткости или просто жесткостью.

* Приведено для тяжелых, высокопрочных бетонов (для легких бетонов sв = 5–15 МПа).

** Приведено для дорожных бетонов.

Приложение:

Измерение модуля продольной упругости, модуля сдвига и коэффициента Пуассона (поперечной деформации) в недисперсионных изотропных конструкционных материалах.

Общие сведения:

Определяется как отношение напряжения (сила на единицу площади) к деформации сжатия.

Определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига.

Коэффициент Пуассона отношение относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению.

Эти основные свойства материалов обязательно учитываются в производстве и в различных научных исследованиях, и определяются с помощью измеренных значений скорости звука и плотности материала. Скорость распространения звука легко вычисляется путем ультразвукового контроля в режиме импульс-эхо с использованием соответствующего оборудования. Представленная ниже процедура действительна для любого однородного, изотропного, недисперсионного материала (скорость звука не изменяется с частотой). Сюда включены наиболее распространенные металлы, промышленная керамика и стекло, при условии, что размеры поперечного сечения не близки длине волны частоты контроля. Жесткие пластики, такие как полистирол и акрил, также могут быть измерены, несмотря на то, что они имеют высокий коэффициент затухания ультразвука.

Каучук не может быть измерен ультразвуковым методом по причине высокой степени дисперсии и нелинейно упругих свойств. Мягкие пластики точно так же показывают высокую степень затухания в режиме сдвиговых волн, и обычно не могут быть измерены. В случае анизотропных материалов, упругость варьируется в зависимости от направления, так же как и скорость распространения продольных волн и/или сдвиговых волн. Для генерации полной матрицы модуля упругости в анизотропных образцах обычно требуется шесть серий ультразвуковых измерений. Пористость или зернистость материала может влиять на точность измерения модуля упругости, поскольку вызывает колебания скорости звука исходя из размера и ориентации зерен или размера и распределения пор, вне зависимости от упругости материала.

Оборудование:

Для измерения скорости звука при расчете упругости обычно используются прецизионные толщиномеры 38DL PLUS или 45MG с ПО для одноэлементных ПЭП , или дефектоскопы с функцией измерения скорости звука (например, серии EPOCH). Генераторы/приемники модели 5072PR или 5077PR в комбинации с осциллографом или дискретизатором сигналов также могут использоваться для измерения времени распространения волн. Для данного теста потребуется два преобразователя, подходящих для эхо-импульсного измерения скорости звука в материале продольными и поперечными волнами. Среди наиболее используемых ПЭП: широкополосный преобразователь продольных волн M112 или V112 (10 МГц) и преобразователь поперечных волн с нормальным углом падения V156 (5 МГц). Они подходят для измерения наиболее распространенных металлов и обожженных керамических образцов. Для измерения очень толстых и очень тонких материалов или образцов с высоким затуханием ультразвука требуются специальные преобразователи. В некоторых случаях применяется теневой метод контроля (метод сквозного прозвучивания) с использованием двух преобразователей, расположенных на одной оси, по разные стороны проверяемого изделия. При выборе преобразователя или настройке прибора необходимо проконсультироваться со специалистом Olympus.

Тестовый образец может быть любой формы, позволяющей выполнять эхо-импульсное измерение времени прохождения ультразвука через материал. Обычно, это образец толщиной 12,5 мм с ровными параллельными поверхностями, ширина или диаметр которого больше диаметра используемого преобразователя. Необходимо проявлять крайнюю осторожность при измерении узких образцов по причине возможных пограничных эффектов, которые могут повлиять на измеренное время прохождения импульса. При использовании сильно тонких образцов, разрешение будет ограничено из-за небольших колебаний во времени прохождения импульса через короткий УЗ-путь. Мы рекомендуем брать образцы толщиной минимум 5 мм, но желательно толще. Во всех случаях толщина тестового образца должна быть точно известна.

Процедура:

Измерьте скорость распространения продольных и сдвиговых волн тестового образца с использованием подходящих ПЭП и настроек прибора. Для измерения скорости сдвиговых волн потребуется специальная контактная жидкость высокой вязкости, как например SWC. Толщиномеры 38DL PLUS и 45MG могут напрямую измерять скорость звука в материале на основе введенной толщины образца, а дефектоскопы серии EPOCH измеряют скорость звука в ходе калибровки скорости звука. В обоих случаях, следуйте рекомендуемой процедуре измерения скорости звука, представленной в руководстве по эксплуатации прибора. При использовании генератора/приемника, зафиксируйте время прохождения сигнала туда и обратно через участок известной толщины с помощью преобразователей продольных и поперечных волн, и рассчитайте:

При необходимости, переведите единицы измерения скорости звука в дюйм/с или см/с. (Время обычно измеряется в микросекундах; для получения измерений в дюйм/с или см/с умножьте дюйм/мкс или см/мкс на 10 6 .) Полученные значения скорости звука могут использоваться в следующих формулах.

Примечание: Если скорость звука выражена в см/с, а плотность – в г/см 3 , модуль упругости будет выражен в дин/см 2 . Если вы используете английскую систему мер (дюйм/с и фунт/дюйм 3) для расчета модуля упругости в фунтах на кв. дюйм (PSI), не путайте фунт (единицу измерения силы) с фунтом (единицей измерения массы). Поскольку модуль упругости выражен как сила на единицу площади, при расчете в английской системе мер необходимо умножить результат вышеуказанной формулы на коэффициент пересчета масса/сила (1 / ускорение свободного падения) для получения значения упругости в фунтах на кв. дюйм. Если исходные расчеты выполнены в метрических единицах, используйте коэффициент конверсии 1 psi = 6,89 x 10 4 дин/см 2 . Вы также можете ввести скорость звука в дюймах/с, а плотность – в г/см 3 , а затем разделить на коэффициент пересчета 1,07 x 10 4 для получения упругости в PSI.

Для определения модуля сдвига умножьте квадрат скорости распространения поперечной волны на плотность.
Опять же, используйте единицы измерения см/с и г/см 3 для получения модуля упругости в дин/см 2 или английскую систему мер (дюйм/с и фунт/дюйм 3) и умножьте результат на коэффициент пересчета масса/сила.

Библиография
Подробнее об измерении модулей упругости ультразвуковым методом см. в представленных ниже источниках:
1. Moore, P. (ed.), Nondestructive Testing Handbook, Volume 7, American Society for Nondestructive Testing, 2007, pp. 319-321.
2. Krautkramer, J., H. Krautkramer, Ultrasonic Testing of Materials , Berlin, Heidelberg, New York 1990 (Fourth Edition), pp. 13-14, 533-534.